6）K-均值（K-means）算法

K-均值算法是輸入聚類個(gè)數(shù)k，以及包含 n個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象的數(shù)據(jù)庫，輸出滿足方差最小標(biāo)準(zhǔn) k（k

k-means 算法的工作過程說明如下：首先從n個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象任意選擇 k 個(gè)對(duì)象作為初始聚類中心，而對(duì)于所剩下其它對(duì)象，則根據(jù)它們與這些聚類中心的相似度（距離），分別將它們分配給與其最相似的聚類，然后再計(jì)算每個(gè)所獲新聚類的聚類中心（該聚類中所有對(duì)象的均值）；不斷重復(fù)這一過程直到標(biāo)準(zhǔn)測(cè)度函數(shù)開始收斂為止。一般都采用均方差作為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)度函數(shù). k個(gè)聚類具有以下特點(diǎn)：各聚類本身盡可能的緊湊，而各聚類之間盡可能的分開。

從算法的表現(xiàn)上來說，它并不保證一定得到全局最優(yōu)解，最終解的質(zhì)量很大程度上取決于初始化的分組。由于該算法的速度快，因此常用的一種方法是多次運(yùn)行k平均算法，選擇最優(yōu)解。

機(jī)器學(xué)習(xí)是繼神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)之后人工智能應(yīng)用的又一重要研究領(lǐng)域，也是人工智能和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算的核心研究課題。對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)的研究及其進(jìn)展，必將促使人工智能和整個(gè)科學(xué)技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。

遺傳算法

遺傳算法(Genetic Algorithms)，也有人把它叫作進(jìn)化算法(Evolutionary Algorithms)，是基于生物進(jìn)化的“物競(jìng)天擇，適者生存”理論發(fā)展起來的一種應(yīng)用廣泛且高效隨機(jī)搜索與優(yōu)化并舉的智能算法，其主要特點(diǎn)是群體搜索策略和群體中個(gè)體之間的信息交換，不依賴于問題的梯度信息。遺傳算法最初被研究的出發(fā)點(diǎn)不是為專門解決最優(yōu)化問題而設(shè)計(jì)的，它與進(jìn)化策略、進(jìn)化規(guī)劃共同構(gòu)成了遺傳算法的主要框架，都是為當(dāng)時(shí)人工智能的發(fā)展服務(wù)的。迄今為止，遺傳算法是智能計(jì)算中最廣為人知的一種算法。

遺傳算法就是模擬自然界進(jìn)化論的基本思想，可以很好地用于優(yōu)化問題，若把它看作對(duì)自然過程高度理想化的模擬，更能顯出它本身的優(yōu)雅與應(yīng)用的重要。該算法以一個(gè)群體中的所有個(gè)體為對(duì)象，并利用隨機(jī)化技術(shù)指導(dǎo)對(duì)一個(gè)被編碼的參數(shù)空間進(jìn)行高效搜索。其中，選擇、雜交和變異構(gòu)成了遺傳算法的遺傳操作；參數(shù)編碼、初始群體的設(shè)定、適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計(jì)、遺傳操作設(shè)計(jì)、控制參數(shù)設(shè)定五要素組成了遺傳算法的核心內(nèi)容。作為一種新的全局優(yōu)化搜索算法，遺傳算法以其簡(jiǎn)單通用、健壯性強(qiáng)、適于并行處理以及高效、實(shí)用等顯著特點(diǎn)，在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，取得了良好效果，并逐漸成為重要的智能算法之一。

近幾年來，遺傳算法主要在復(fù)雜優(yōu)化問題求解和工業(yè)工程領(lǐng)域應(yīng)用等方面，取得了一些令人信服的結(jié)果，所以引起更多人的關(guān)注。

要想進(jìn)一步的了解遺傳算法，當(dāng)然要先了解遺傳、進(jìn)化及其有關(guān)的一些概念和知識(shí)，下面就對(duì)其進(jìn)行一些簡(jiǎn)單介紹。作為遺傳算法生物背景的介紹，了解下面的一些概念及內(nèi)容也就夠了。

個(gè)體：組成種群的單個(gè)生物；

種群：生物進(jìn)化以群體的形式進(jìn)行，這樣的一個(gè)群體稱為種群；

基因：DNA長(zhǎng)鏈結(jié)構(gòu)中占有一定位置的基本遺傳單位，也叫遺傳因子；

基因DNA、RNA片段(摘自互聯(lián)網(wǎng))

染色體：是生物細(xì)胞中含有的一種微小的絲狀物，是遺傳物質(zhì)的主要載體，由多個(gè)遺傳基因組成；

遺傳：新個(gè)體會(huì)遺傳父母雙方各自一部分的基因，承現(xiàn)出親子之間以及子代個(gè)體之間性狀相似性，表明性狀可以從親代傳遞給子代；

變異：親代和子代之間、子代和子代的不同個(gè)體之間總會(huì)存在一些差異，這種現(xiàn)象稱為變異；變異是隨機(jī)發(fā)生的，變異的選擇和積累是生命多樣性的根源；

進(jìn)化：生物在其延續(xù)生命的過程中，逐漸適應(yīng)其生存環(huán)境使得其品質(zhì)不斷得到改良，這種生命現(xiàn)象稱為進(jìn)化；生物的進(jìn)化是以種群的形式進(jìn)行的；

生存競(jìng)爭(zhēng)，適者生存：生物的繁殖過程，會(huì)發(fā)生基因交叉、基因突變，適應(yīng)度低的個(gè)體會(huì)被逐步淘汰，而適應(yīng)度高的個(gè)體會(huì)越來越多；這樣經(jīng)過多代的自然選擇后，保存下來的都是適應(yīng)度很高的個(gè)體，其中很可能包含史上產(chǎn)生的適應(yīng)度最高的那些個(gè)體。

遺傳算法是解決搜索問題的一種通用算法，各種各樣、類型不同的問題都可以使用。遺傳算法的共同特征有： ① 首先組成一組候選解； ② 依據(jù)某些適應(yīng)性條件測(cè)算這些候選解的適應(yīng)度； ③ 根據(jù)適應(yīng)度保留某些優(yōu)良候選解，放棄其中欠佳的部分候選解； ④ 對(duì)保留的候選解進(jìn)行某些操作，生成新的候選解。在遺傳算法中，上述幾個(gè)特征以一種特殊的方式組合在一起，如基于染色體群的并行搜索，帶有猜測(cè)性質(zhì)的選擇操作、交換操作和突變操作。這種特殊的組合方式將遺傳算法與其它搜索算法區(qū)別開來。

除上述共同特征外，遺傳算法還具有以下幾方面的特點(diǎn)：

(1) 遺傳算法從問題解的串集中開始搜索，而不是從單個(gè)解開始，這是遺傳算法與傳統(tǒng)優(yōu)化算法的最大區(qū)別。傳統(tǒng)優(yōu)化算法是從單個(gè)初始值迭代求最優(yōu)解，容易誤入局部最優(yōu)解。遺傳算法從串集開始搜索，覆蓋面大，利于全局擇優(yōu)。

(2) 許多傳統(tǒng)搜索算法都是單點(diǎn)搜索算法，容易陷入局部的最優(yōu)解。遺傳算法同時(shí)處理群體中的多個(gè)個(gè)體，即對(duì)搜索空間中的多個(gè)解進(jìn)行評(píng)估，減少了陷入局部最優(yōu)解的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)算法本身易于實(shí)現(xiàn)并行化。

(3) 遺傳算法基本上不用搜索空間的知識(shí)或其它輔助信息，而僅用適應(yīng)度函數(shù)值來評(píng)估個(gè)體，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行遺傳操作。適應(yīng)度函數(shù)不僅不受連續(xù)、可微等的約束，而且其定義域可以任意設(shè)定。這一特點(diǎn)使得遺傳算法的應(yīng)用范圍得到很大擴(kuò)展。

(4) 遺傳算法不是采用確定性規(guī)則，而是采用概率的變遷規(guī)則來指導(dǎo)它的搜索方向。

(5) 具有自組織、自適應(yīng)和自學(xué)習(xí)等特性。遺傳算法利用進(jìn)化過程獲得的信息自行組織搜索時(shí)，硬度大的個(gè)體具有較高的生存概率，并獲得更適應(yīng)環(huán)境的基因結(jié)構(gòu)。

遺傳算法以一個(gè)群體中的所有個(gè)體為對(duì)象，利用隨機(jī)化技術(shù)對(duì)編碼參數(shù)空間進(jìn)行高效搜索，把選擇、雜交和變異等遺傳現(xiàn)象構(gòu)成遺傳操作。作為一種全局優(yōu)化搜索算法，遺傳算法不考慮函數(shù)本身是否連續(xù)、是否可微等性質(zhì)，以其簡(jiǎn)單通用、健壯性強(qiáng)和高效、實(shí)用、隱含并行性、容易找到“全局最優(yōu)解”等顯著特點(diǎn)，在許多領(lǐng)域得到成功應(yīng)用，成為一種重要的智能算法。

上面的描述是簡(jiǎn)單的遺傳算法模型，可由此給出下面的遺傳算法流程圖，再加延伸，可以在這一基本型上進(jìn)行改進(jìn)和發(fā)展，形成諸多不同類別的遺傳算法，使其在科學(xué)和工程領(lǐng)域得到更廣泛的應(yīng)用。

遺傳算法流程圖

上面遺傳算法流程圖中有六個(gè)重要的環(huán)節(jié)：

（1）編碼和初始群體的生成：遺傳算法在進(jìn)行搜索之前先將解空間的解數(shù)據(jù)表示成遺傳空間的基因型串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，這些串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的不同組合便構(gòu)成了不同的點(diǎn)。然后隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)初始串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，每個(gè)串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)稱為一個(gè)個(gè)體， N個(gè)體構(gòu)成了一個(gè)群體。遺傳算法以這N個(gè)串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)作為初始點(diǎn)開始迭代。當(dāng)然，初始群體應(yīng)該選取適當(dāng)，如果選取的過小則雜交優(yōu)勢(shì)不明顯，算法性能很差，群體選取太大則計(jì)算量會(huì)過大。

（2）檢查算法收斂準(zhǔn)則是否滿足，控制算法是否結(jié)束，也可以采用判斷與最優(yōu)解的適配度或者選定一個(gè)迭代次數(shù)來結(jié)束計(jì)算。

（3）適應(yīng)度評(píng)估選擇和檢測(cè)：適應(yīng)性函數(shù)表明個(gè)體或解的優(yōu)劣性，在程序的開始也應(yīng)該評(píng)價(jià)適應(yīng)性，以便和以后的做比較。不同的問題，適應(yīng)性函數(shù)的定義方式也不同。根據(jù)適應(yīng)性的好壞，進(jìn)行選擇。選擇的目的是為了從當(dāng)前群體中選出優(yōu)良的個(gè)體，使它們有機(jī)會(huì)作為父代為下一代繁殖子孫。遺傳算法通過選擇過程體現(xiàn)這一思想，進(jìn)行選擇的原則是適應(yīng)性強(qiáng)的個(gè)體為下一代貢獻(xiàn)一個(gè)或多個(gè)后代的概率大。選擇實(shí)現(xiàn)了達(dá)爾文的適者生存原則。

（4）選擇:將選擇算子作用于群體。選擇的目的是把優(yōu)化的個(gè)體直接遺傳到下一代或通過配對(duì)交叉產(chǎn)生新的個(gè)體再遺傳到下一代。選擇操作是建立在群體中個(gè)體的適應(yīng)度評(píng)估基礎(chǔ)上的。

（5）雜交：按照雜交概率進(jìn)行雜交。雜交操作是遺傳算法中最主要的遺傳操作。通過雜交操作可以得到新一代個(gè)體，新個(gè)體組合了其父輩個(gè)體的特性。雜交體現(xiàn)了信息交換的思想。

可以選定一個(gè)點(diǎn)對(duì)染色體串進(jìn)行互換，插入，逆序等雜交，也可以隨機(jī)選取幾個(gè)點(diǎn)雜交。雜交概率如果太大，種群更新快，但是高適應(yīng)性的個(gè)體很容易被淹沒，概率小了搜索會(huì)停滯。

（6）變異：按照變異概率進(jìn)行變異。變異首先在群體中隨機(jī)選擇一個(gè)個(gè)體，對(duì)于選中的個(gè)體以一定的概率隨機(jī)地改變串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)中某個(gè)串的值。同生物界一樣，遺傳算法中變異發(fā)生的概率很低，但為新個(gè)體的產(chǎn)生提供了機(jī)會(huì)。

變異可以防止有效基因的缺損造成的進(jìn)化停滯。比較低的變異概率就已經(jīng)可以讓基因不斷變更，太大了會(huì)陷入隨機(jī)搜索。不難想象一下，生物界每一代都和上一代差距很大，會(huì)出現(xiàn)是怎樣一種可怕的情形。

就像自然界的變異適和任何物種一樣，對(duì)變量進(jìn)行了編碼的遺傳算法沒有考慮函數(shù)本身是否可導(dǎo)，是否連續(xù)等性質(zhì)，所以適用性很強(qiáng)；并且，它開始就對(duì)一個(gè)種群進(jìn)行操作，隱含了并行性，也容易找到“全局最優(yōu)解”。

由上面遺傳算法流程圖不難看出，遺傳算法提供了一種求解復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問題的通用框架，計(jì)算時(shí)不依賴于梯度信息或其它輔助知識(shí)，而只需要影響搜索方向的目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)，不依賴于問題的具體領(lǐng)域，對(duì)問題的種類有很強(qiáng)的穩(wěn)健性，可廣泛應(yīng)用于很多學(xué)科。下面是遺傳算法的一些主要應(yīng)用領(lǐng)域。

（1）函數(shù)優(yōu)化：函數(shù)優(yōu)化是遺傳算法的經(jīng)典應(yīng)用領(lǐng)域，也是對(duì)遺傳算法進(jìn)行性能評(píng)價(jià)的常用算例，特別是對(duì)于一些非線性、多模型、多目標(biāo)的函數(shù)優(yōu)化問題，用其他優(yōu)化方法較難求解，而遺傳算法卻可以方便地得到較好的結(jié)果；（2）組合優(yōu)化：隨著問題規(guī)模的增大，組合優(yōu)化問題的搜索空間也急劇擴(kuò)大，實(shí)踐證明，遺傳算法已經(jīng)在求解旅行商問題、背包問題、裝箱問題、布局優(yōu)化、圖形劃分問題等各種具有NP難度的問題中得到成功的應(yīng)用；（3）生產(chǎn)調(diào)度問題：車間調(diào)度問題是一個(gè)典型的NP問題,從最初的傳統(tǒng)車間調(diào)度問題到柔性作業(yè)車間調(diào)度問題，遺傳算法都有優(yōu)異的結(jié)果顯示，在很多算例中都得到了最優(yōu)解或近優(yōu)解；（4）自動(dòng)控制；（5） 機(jī)器人學(xué)；（6） 圖像處理；（7）人工生命；（8）遺傳編程；（9）機(jī)器學(xué)習(xí)；（10）數(shù)據(jù)挖掘等。

隨著應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)展，遺傳算法的研究出現(xiàn)了幾個(gè)引人注目的新動(dòng)向：（1）基于遺傳算法機(jī)器學(xué)習(xí)，這一新的研究課題把遺傳算法從歷來離散的搜索空間的優(yōu)化搜索算法擴(kuò)展到具有獨(dú)特的規(guī)則生成功能的機(jī)器學(xué)習(xí)算法。這一新的學(xué)習(xí)機(jī)制對(duì)于解決人工智能中知識(shí)獲取和知識(shí)優(yōu)化精煉的瓶頸難題帶來了希望。（2）遺傳算法正日益和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊推理以及混沌理論等其它智能計(jì)算方法相互滲透和結(jié)合，這對(duì)開拓21世紀(jì)中新的智能計(jì)算技術(shù)將具有重要的意義。（3）并行處理的遺傳算法的研究十分活躍。這一研究不僅對(duì)遺傳算法本身的發(fā)展，而且對(duì)于新一代智能計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)的研究都是十分重要的。（4）遺傳算法和另一個(gè)稱為人工生命的嶄新研究領(lǐng)域正不斷滲透。所謂人工生命即是用計(jì)算機(jī)模擬自然界豐富多彩的生命現(xiàn)象，其中生物的自適應(yīng)、進(jìn)化和免疫等現(xiàn)象是人工生命的重要研究對(duì)象，而遺傳算法在這方面將會(huì)發(fā)揮一定的作用，（5）遺傳算法和進(jìn)化規(guī)劃以及進(jìn)化策略等進(jìn)化計(jì)算理論日益結(jié)合。它們幾乎是和遺傳算法同時(shí)獨(dú)立發(fā)展起來的，同遺傳算法一樣，它們也是模擬自然界生物進(jìn)化機(jī)制的智能算法，即同遺傳算法具有相同之處，也有各自的特點(diǎn)。目前，這三者之間的比較研究和彼此結(jié)合的探討正形成熱點(diǎn)。

進(jìn)入二十一世紀(jì)，遺傳算法迎來了興盛發(fā)展時(shí)期，無論是數(shù)學(xué)理論研究、計(jì)算機(jī)硬件研發(fā)還是應(yīng)用研究都成了十分熱門的課題，尤其是遺傳算法的應(yīng)用研究顯得格外活躍，不但它的應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)大，而且利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化和規(guī)則學(xué)習(xí)的能力也顯著提高。此外一些新的理論和方法在應(yīng)用研究中亦得到了迅速的發(fā)展，這些無疑均給遺傳算法增添了新的活力。遺傳算法的應(yīng)用研究已從初期的組合優(yōu)化求解擴(kuò)展到了許多更新、更工程化的應(yīng)用方面，同樣也會(huì)取得更多新的突破，使得遺傳算法的研究更上一層樓。

模糊計(jì)算

人們常用“模糊計(jì)算”（Fuzzy Computing）籠統(tǒng)地代表諸如模糊系統(tǒng)、模糊語言、模糊推理、模糊邏輯、模糊控制、模糊遺傳和模糊聚類等模糊應(yīng)用領(lǐng)域中所用到的諸多算法及其理論。在這些應(yīng)用系統(tǒng)中，廣泛地應(yīng)用了模糊集理論，并揉和了人工智能的其他手段，因此模糊計(jì)算也常常與人工智能相聯(lián)系。由于模糊計(jì)算可以表現(xiàn)事物本身性質(zhì)的內(nèi)在不確定性，因此它可以模擬人腦認(rèn)識(shí)客觀世界的非精確、非線性的信息處理能力和亦此亦彼的模糊概念和模糊邏輯。

概念是人類思維的基本形式之一，它反映了客觀事物的本質(zhì)特征。一個(gè)概念有它的內(nèi)涵和外延，內(nèi)涵是指該概念所反映的事物本質(zhì)屬性的總和，也就是概念的內(nèi)容；外延是指一個(gè)概念所確指的對(duì)象的范圍。例如“人”這個(gè)概念的內(nèi)涵是指能制造工具，并使用工具進(jìn)行勞動(dòng)的動(dòng)物，外延是指古今中外一切的人。在生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)驗(yàn)以及日常生活中，人們經(jīng)常會(huì)遇到諸多模糊概念，如大與小、輕與重、快與慢、動(dòng)與靜、深與淺、美與丑等都包含著一些模糊概念。

美國(guó)數(shù)學(xué)家、控制論專家L.A.Zadeh博士于1965年發(fā)表了關(guān)于模糊集的論文，首次提出了表達(dá)事物模糊性的重要概念——隸屬函數(shù)(Membership Function)。這篇論文把元素對(duì)集的隸屬度從原來的非0即1推廣到可以取區(qū)間[0，1]的任何值，這樣用隸屬度定量的描述論域中元素符合論域概念的程度，實(shí)現(xiàn)了對(duì)普通集合的擴(kuò)展，從而可以用隸屬函數(shù)表示模糊集。模糊集理論構(gòu)成了模糊計(jì)算系統(tǒng)的基礎(chǔ)，人們?cè)诖嘶A(chǔ)上把人工智能中關(guān)于知識(shí)表示和推理的方法引入進(jìn)來，或者說把模糊集理論用到知識(shí)工程中去就形成了模糊邏輯和模糊推理。為了克服這些模糊系統(tǒng)知識(shí)獲取的不足及學(xué)習(xí)能力低下的缺點(diǎn)，又把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算加入到這些模糊系統(tǒng)中，形成了模糊神經(jīng)系統(tǒng)。這些研究都成為人工智能研究的熱點(diǎn)，因?yàn)樗鼈儽憩F(xiàn)出了許多領(lǐng)域?qū)＜也啪哂械哪芰ΑＭ瑫r(shí)，這些模糊系統(tǒng)在計(jì)算形式上一般多以數(shù)值計(jì)算為主，也通常被人們歸為軟計(jì)算、智能計(jì)算的范疇。

模糊計(jì)算在應(yīng)用上可一點(diǎn)都不模糊，其應(yīng)用范圍非常廣泛，它在家電產(chǎn)品中的應(yīng)用已被人們所接受，如模糊洗衣機(jī)、模糊冰箱、模糊相機(jī)等。另外，在專家系統(tǒng)、智能控制等許多系統(tǒng)中，模糊計(jì)算也都能大顯身手，其原因就在于它的工作方式與人類的認(rèn)知過程有著極大的相似性。

模糊數(shù)學(xué)（Fuzzy Mathematics），研究現(xiàn)實(shí)中許多界限不分明問題的一種數(shù)學(xué)工具，已廣泛應(yīng)用于模糊控制、模糊識(shí)別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評(píng)判、系統(tǒng)理論、信息檢索、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等各個(gè)方面。然而模糊數(shù)學(xué)最重要的應(yīng)用領(lǐng)域是計(jì)算機(jī)智能，不少人認(rèn)為它與新一代計(jì)算機(jī)的研發(fā)有著極其密切的聯(lián)系。模糊數(shù)學(xué)基本概念之一是模糊集合，利用模糊集合、模糊矩陣、模糊運(yùn)算和模糊邏輯等，能很好地處理各個(gè)不同領(lǐng)域應(yīng)用中的模糊問題。

按照經(jīng)典集合的理論，每一個(gè)集合必須由確定的元素構(gòu)成，元素之于集合的隸屬關(guān)系是明確的，這一性質(zhì)可以用特征函數(shù)μA(x)來表示，即有：

模糊數(shù)學(xué)把特征函數(shù)改寫成所謂的“隸屬函數(shù)μA(x)：0≤μA(x)≤1”，在這里A被稱為模糊集合，μA(x)為隸屬度。經(jīng)典集合論要求μA(x)取0或1兩個(gè)值，模糊集合則突破了這一限制，μA(x)=1表示百分之百隸屬于模糊集合A，μA(x)=0表示完全不屬于模糊集合A，還可以有20%隸屬于模糊集合A，80%隸屬于模糊集合A，等等，即可取[0，1]區(qū)間內(nèi)的任意值。由于人腦的思維包括精確的和模糊的兩個(gè)方面，因此模糊數(shù)學(xué)在人工智能系統(tǒng)模擬人類思維的過程中起到了重要作用，它與新型的計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)和許多模糊計(jì)算密切相關(guān)。

模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬度，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。如何確定一個(gè)模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未得到很好解決的問題。常用的確定隸屬函數(shù)的方法有模糊統(tǒng)計(jì)法、指派法、專家經(jīng)驗(yàn)法、二元對(duì)比排序法及根據(jù)問題的實(shí)際意義來確定的方法等。模糊統(tǒng)計(jì)方法是一種客觀方法，主要是在模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上根據(jù)隸屬度的客觀存在性來確定的；指派方法主要依據(jù)人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來確定某些模糊集隸屬函數(shù)的一種方法；在實(shí)際應(yīng)用中，用來確定模糊集的隸屬函數(shù)的方法是多種多樣的，主要根據(jù)問題的實(shí)際意義來確定。譬如，在經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)管理中，可以借助于已有的“客觀尺度”作為模糊集的隸屬度。

由于模糊性概念已經(jīng)找到了模糊集的描述方式，人們運(yùn)用概念進(jìn)行判斷、評(píng)價(jià)、推理、決策和控制的過程也可以用模糊性數(shù)學(xué)的方法來描述。這些方法構(gòu)成了一種模糊性系統(tǒng)理論，構(gòu)成了一種思辨數(shù)學(xué)的雛形，已經(jīng)在醫(yī)學(xué)、氣象、心理、經(jīng)濟(jì)管理、石油、地質(zhì)、環(huán)境、生物、農(nóng)業(yè)、林業(yè)、化工、語言、控制、遙感、教育、體育等方面取得多方面具體的研究和應(yīng)用成果。

模糊理論（Fuzzy Theory）是指用到了模糊集合的基本概念或連續(xù)隸屬度函數(shù)的理論，可分為模糊數(shù)學(xué)，模糊系統(tǒng)，不確定性和信息，模糊決策，模糊邏輯與人工智能眾多分支，它們并不是完全獨(dú)立的，之間存在著緊密的聯(lián)系，例如，模糊控制就會(huì)用到模糊數(shù)學(xué)和模糊邏輯中的概念。從實(shí)際應(yīng)用的觀點(diǎn)來看，模糊理論的應(yīng)用大部分集中在模糊系統(tǒng)上，尤其集中在模糊控制上，也有一些模糊專家系統(tǒng)應(yīng)用于醫(yī)療診斷和決策支持。

模糊概念(Fuzzy Concept)是指這個(gè)概念的外延具有不確定性，或者說它的外延是不清晰的，是模糊的。例如“青年”這個(gè)概念，它的內(nèi)涵我們是清楚的，但是它的外延，即什么樣的年齡階段內(nèi)的人是青年，恐怕就很難說情楚，因?yàn)樵凇澳贻p”和“不年輕”之間沒有一個(gè)確定的邊界，這就是一個(gè)模糊概念。需要注意的幾點(diǎn)：首先，人們?cè)谡J(rèn)識(shí)模糊性時(shí)，是允許有主觀性的，也就是說每個(gè)人對(duì)模糊事物的界限不完全一樣，承認(rèn)一定的主觀性是認(rèn)識(shí)模糊性的一個(gè)特點(diǎn)。例如，我們讓100個(gè)人說出“年輕人”的年齡范圍，那么我們將會(huì)得到數(shù)十個(gè)不同的答案。盡管如此，當(dāng)我們用模糊統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行分析時(shí)，年輕人的年齡界限分布又具有一定的規(guī)律性；其次，模糊性是精確性的對(duì)立面，但不能消極地理解模糊性代表的是落后的事物，恰恰相反，我們?cè)谔幚砜陀^事物時(shí)，經(jīng)常借助于模糊性。例如，在一個(gè)有許多人的房間里，找一位“年老的高個(gè)子男人”，這是不難辦到的。這里所說的“年老”、“高個(gè)子”都是模糊概念，然而我們只要將這些模糊概念經(jīng)過頭腦的分析判斷，很快就可以在人群中找到此人。如果我們要求用計(jì)算機(jī)查詢，那么就要把所有人的年齡，身高的具體數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)，然后我們才可以從人群中找這樣的人。最后，人們對(duì)模糊性的認(rèn)識(shí)往往同隨機(jī)性混淆起來，其實(shí)它們之間有著根本的區(qū)別。隨機(jī)性是其本身具有明確的含義，只是由于發(fā)生的條件不充分，而使得在條件與事件之間不能出現(xiàn)確定的因果關(guān)系，從而事件的出現(xiàn)與否表現(xiàn)出一種隨機(jī)性。而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模糊的，即一個(gè)對(duì)象是否符合這個(gè)概念難以確定，也就是由于概念外延模糊而帶來的不確定性。

模糊邏輯(Fuzzy Logic)不是二元邏輯——非此即彼的推理，也不是傳統(tǒng)意義的多值邏輯，而是在承認(rèn)事物隸屬真值中間過渡性的同時(shí)，還認(rèn)為事物在形態(tài)和類屬方面具有亦此亦彼性、模棱兩可性——模糊性。模糊邏輯善于表達(dá)界限不清晰的定性知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，它借助于隸屬度函數(shù)概念，區(qū)分模糊集合，處理模糊關(guān)系，模擬人腦實(shí)施規(guī)則型推理，解決因“排中律”的邏輯破缺產(chǎn)生的種種不確定問題。模糊邏輯模仿人腦的不確定性概念判斷、推理思維方式，對(duì)于模型未知或不能確定的描述系統(tǒng)，以及強(qiáng)非線性、大滯后的控制對(duì)象，應(yīng)用模糊集合和模糊規(guī)則進(jìn)行推理，表達(dá)過渡性界限或定性知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，模擬人腦方式，實(shí)行模糊綜合判斷，推理解決常規(guī)方法難于對(duì)付的規(guī)則型模糊信息問題。

模糊系統(tǒng)(Fuzzy System)基于模糊數(shù)學(xué)理論,能夠?qū)κ挛镞M(jìn)行模糊處理。在模糊系統(tǒng)中,元素與模糊集合之間的關(guān)系是不確定的,即在傳統(tǒng)集合論中元素與集合“非此即彼”的關(guān)系不適合模糊邏輯。元素與模糊集合的隸屬關(guān)系是通過隸屬度函數(shù)來度量的。當(dāng)一個(gè)元素確定屬于某個(gè)模糊集合,則這個(gè)元素對(duì)該模糊集合的隸屬度為1;當(dāng)這個(gè)元素確定不屬于該模糊集合時(shí),則此時(shí)的隸屬度值為0;當(dāng)無法確定該元素是否屬于該模糊集合時(shí),隸屬度值為一個(gè)屬于0到1之間的連續(xù)數(shù)值。模糊系統(tǒng)能夠很好處理人們生活中的模糊概念,清晰地表達(dá)知識(shí),而且善于利用學(xué)科領(lǐng)域的知識(shí),具有很強(qiáng)的推理能力。模糊系統(tǒng)主要應(yīng)用在自動(dòng)控制、模式識(shí)別和故障診斷等領(lǐng)域并且取得了令人振奮的成果,但是大多數(shù)模糊系統(tǒng)都是利用已有的專家知識(shí),缺乏自學(xué)習(xí)能力,無法對(duì)自動(dòng)提取模糊規(guī)則和生成隸屬度函數(shù)。針對(duì)這一問題,可以通過與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法等自學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的算法融合來解決。目前,很多學(xué)者正在研究模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和神經(jīng)模糊系統(tǒng),這是對(duì)傳統(tǒng)算法研究和應(yīng)用的創(chuàng)新。

把模糊概念和一些傳統(tǒng)算法及智能算法結(jié)合起來，形成了一大批的模糊算法，下面簡(jiǎn)舉幾例。

模糊遺傳算法(Fuzzy Genetic Algorithm)是指基于模糊邏輯的遺傳算法，是當(dāng)前遺傳算法發(fā)展的一個(gè)新方向。它充分利用了人們對(duì)遺傳算法已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，并且修正和完善了這些經(jīng)驗(yàn)，有助于對(duì)遺傳算法的遺傳算子及參數(shù)設(shè)置與遺傳算法性能關(guān)系的理解；同時(shí)在遺傳算法運(yùn)行過程中，實(shí)現(xiàn)了對(duì)遺傳算法參數(shù)或算子的動(dòng)態(tài)調(diào)整，保證了整個(gè)遺傳算法搜索過程中合理的利用性和探索性關(guān)系。把模糊邏輯用于遺傳算法，是從兩個(gè)方面著手的：一方面，把已有的關(guān)于遺傳算法的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)用模糊語言來描述，并用于在線控制遺傳操作和參數(shù)設(shè)置，形成動(dòng)態(tài)遺傳算法；另一方面，借鑒模糊邏輯及模糊集合運(yùn)算的思想，得到模糊編碼和相應(yīng)模糊遺傳操作，以改進(jìn)遺傳算法的性能。

模糊聚類算法(Fuzzy Cluster Algorithm)是一種采用模糊數(shù)學(xué)語言對(duì)事物按一定的要求進(jìn)行描述和分類的數(shù)學(xué)方法，一般是指根據(jù)研究對(duì)象本身的屬性來構(gòu)造模糊矩陣，并在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來確定聚類關(guān)系，即用模糊數(shù)學(xué)的方法把樣本之間的模糊關(guān)系定量的確定，從而客觀且準(zhǔn)確地進(jìn)行聚類。聚類就是將數(shù)據(jù)集分成多個(gè)類或簇，使得各個(gè)類之間的數(shù)據(jù)差別應(yīng)盡可能大，類內(nèi)之間的數(shù)據(jù)差別應(yīng)盡可能小，即為“最小化類間相似性，最大化類內(nèi)相似性”原則。聚類分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一種多元分析方法，它是用數(shù)學(xué)方法定量地確定樣本的親疏關(guān)系，從而客觀地劃分類型。事物之間的界限，有些是確切的，有些則是模糊的。例人群中的面貌相像程度之間的界限是模糊的，天氣陰、晴之間的界限也是模糊的。當(dāng)聚類涉及事物之間的模糊界限時(shí)，需運(yùn)用模糊聚類分析方法。模糊聚類分析廣泛應(yīng)用在氣象預(yù)報(bào)、地質(zhì)、農(nóng)業(yè)、林業(yè)等方面。通常把被聚類的事物稱為樣本，將被聚類的一組事物稱為樣本集。模糊聚類分析有兩種基本方法：系統(tǒng)聚類法和逐步聚類法。

模糊數(shù)學(xué)及其計(jì)算的產(chǎn)生不僅拓廣了經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而且也是計(jì)算機(jī)科學(xué)向人們的自然機(jī)理方面發(fā)展的重大突破。它在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)學(xué)等問題的廣泛應(yīng)用領(lǐng)域中顯示了巨大的力量，雖然發(fā)展的歷史并不很長(zhǎng)，但已被國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界以及信息、系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)和自動(dòng)控制科技界人員的普遍關(guān)注，具有極其廣闊應(yīng)用前景。

群智能計(jì)算

群智能計(jì)算(Swarm Intelligence Computing)，又稱群體智能計(jì)算或群集智能計(jì)算，是指一類受昆蟲、獸群、鳥群和魚群等的群體行為啟發(fā)而設(shè)計(jì)出來的具有分布式智能行為特征的一些智能算法。群智能中的“群”指的是一組相互之間可以進(jìn)行直接或間接通信的群體；“群智能”指的是無智能的群體通過合作表現(xiàn)出智能行為的特性。智能計(jì)算作為一種新興的計(jì)算技術(shù)，受到越來越多研究者的關(guān)注，并和人工生命、進(jìn)化策略以及遺傳算法等有著極為特殊的聯(lián)系，已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用。群智能計(jì)算在沒有集中控制并且不提供全局模型的前提下，為尋找復(fù)雜的分布式問題的解決方案提供了基礎(chǔ)。